Нужно ли проводить дополнительные линии?

Нет, и это главная особенность задачи. Нужный треугольник уже есть на чертеже: его стороны лежат на стороне квадрата, на диагонали и на отрезке CE. Всё, что требуется, — увидеть его среди остальных линий.

Почему угол при вершине B равен 45 градусам?

Диагональ квадрата делит его прямой угол пополам, потому что она же является осью симметрии квадрата. Половина от 90 градусов — это 45 градусов. Точка E лежит на стороне BA, поэтому угол между BE и диагональю тот же самый.

Зачем переносить угол 8α к другой стороне точки F?

В условии 8α отмечен между лучами к C и к D, а это угол вне нужного нам треугольника. Вертикальные углы равны, поэтому такой же угол стоит с противоположной стороны — уже внутри треугольника. Это перенос известной величины туда, где она работает.

Угол в квадрате: находим треугольник, который уже нарисован

На чертеже отмечены всего два угла, и оба выражены через одну букву. Значит, где-то должно найтись равенство, которое их свяжет. Ниже — как его получить, не проводя ни одной новой линии.

видеоразбор · 2 мин 06 с

Тот же разбор за две минуты

Треугольник проступает на чертеже, углы переезжают на свои места, уравнение собирается на глазах. В статье то же решение с чертежами и задачей для самостоятельной пробы.

Ролик лежит на нашем сервере: без сторонних проигрывателей и рекламы. Звук включается в плеере.

Задача

В квадрате $ABCD$ проведён отрезок $CE$ так, что отмеченные на чертеже углы равны $7\alpha$ и $8\alpha$ . Найдите $\alpha$ в градусах.

Квадрат ABCD: A внизу слева, B вверху слева, C вверху справа, D внизу справа. Точка E на стороне AB. Проведены диагональ BD и отрезок CE, они пересекаются в точке F. При E отмечен угол 7 альфа, при F — угол 8 альфа между лучами к C и к D. — Точку пересечения отрезка $CE$ и диагонали $BD$ обозначим буквой $F$ . Чертёж перерисован нами по рисунку из условия.

Задача школьного этапа ВсОШ — Всероссийской олимпиады школьников — на платформе «Сириус»: математика, 8 класс, 2021 год, группа 3, задание 8-2. Условие и авторство принадлежат организаторам; ниже — наш учебный разбор.

Попробуйте до чтения найти первый ход. Какой треугольник на чертеже связывает отмеченные углы?

Догадка

Углов на чертеже два, а неизвестная одна. Значит, надо приравнять их друг к другу или достроить что-нибудь, чтобы получилось уравнение.

Приравнивать нечего: $7\alpha$ и $8\alpha$ — разные углы и равными быть не обязаны. А достраивать не придётся вовсе. Нужный треугольник уже нарисован, просто он не выделен среди остальных линий. Задача не на построение, а на умение увидеть.

Рассуждение

Ищем треугольник, у которого известны все три угла. Если выразить их через $\alpha$ и числа, сумма даст $180^\circ$ — вот и уравнение. Угол $7\alpha$ стоит при точке $E$ , поэтому треугольник должен опираться на неё.

Возьмём треугольник $EBF$ : его стороны лежат на стороне квадрата, на диагонали и на отрезке $CE$ . Никаких новых линий.

Переносим второй угол на место. В условии $8\alpha$ отмечен между лучами $FC$ и $FD$ , то есть вне нашего треугольника. Но при пересечении двух прямых противоположные углы равны, а $CE$ и $BD$ как раз пересекаются в точке $F$ . Значит, угол между лучами $FB$ и $FE$ тоже равен $8\alpha$ — и он уже внутри треугольника.

Тот же чертёж, заливкой выделен треугольник EBF. При точке F отмечены два вертикальных угла: справа между лучами к C и к D — угол 8 альфа из условия, слева между лучами к B и к E — равный ему угол 8 альфа внутри выделенного треугольника. — Вертикальные углы равны, поэтому известная величина переезжает внутрь треугольника.

Третий угол даёт сам квадрат. Диагональ квадрата делит его прямой угол пополам. Точка $E$ лежит на стороне $BA$ , поэтому угол при вершине $B$ в нашем треугольнике равен половине прямого:

$\angle EBF = 90^\circ : 2 = 45^\circ.$

Тот же чертёж с выделенным треугольником EBF. При вершине B отмечен угол 45 градусов между стороной BA и диагональю BD, при E отмечен угол 7 альфа. — Все три угла треугольника известны: $7\alpha$ , $8\alpha$ и $45^\circ$ .

Доказательство

Шаг 1. Записываем сумму углов треугольника $EBF$ . Она равна $180^\circ$ в любом треугольнике:

$7\alpha + 8\alpha + 45^\circ = 180^\circ.$

Шаг 2. Приводим подобные слагаемые.

$15\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ.$

Шаг 3. Делим обе части на 15. Число 15 не равно нулю, поэтому делить можно:

$\alpha = 135^\circ : 15 = 9^\circ.$

Ответ: $\alpha = 9^\circ$ .

Проверим. При $\alpha = 9^\circ$ углы треугольника равны $7 \cdot 9 = 63^\circ$ , $8 \cdot 9 = 72^\circ$ и $45^\circ$ . Их сумма: $63 + 72 + 45 = 180$ . Сходится.

Что и требовалось — понять

Записать в уравнение угол $8\alpha$ прямо с чертежа, не заметив, что он лежит вне треугольника $EBF$ . Тогда в сумму попадают углы из разных фигур, и равенство теряет смысл.

Исправление: сначала назвать треугольник и перечислить его вершины, потом для каждой вершины отдельно проверить, какой именно угол в него входит. Угол $8\alpha$ попадает туда только после переноса вертикальными.

Когда на чертеже отмечены углы, а связать их нечем, ищите фигуру с известной суммой углов: треугольник даёт $180^\circ$ , четырёхугольник — $360^\circ$ . Часто такая фигура уже нарисована, и достаточно её выделить, а не достраивать новую.

Известный угол не обязан сразу стоять там, где нужен. Вертикальные углы, углы при параллельных прямых и свойства симметричной фигуры позволяют перенести величину на нужное место. В квадрате самый частый подарок — диагональ: она делит прямой угол пополам и даёт готовые $45^\circ$ .

И держите в голове разницу между «увидеть» и «доказать». Треугольник можно заметить глазами, но в решении придётся назвать его вершины и объяснить, откуда взялся каждый из трёх углов.

Попробуйте сами

Авторская задача на тот же приём, не олимпиадная. Тот же квадрат, то же построение, но отмеченные углы равны $4\beta$ и $5\beta$ . Найдите $\beta$ .

Квадрат ABCD с точкой E на стороне AB, диагональю BD и отрезком CE. При E отмечен угол 4 бета, при F — угол 5 бета между лучами к C и к D. — Построение прежнее, изменились только числа при углах.

Подсказка

Какой угол при вершине $B$ входит в треугольник $EBF$ ? Он не зависит от того, где именно на стороне стоит точка $E$ .

Показать ответ

Угол при $B$ по-прежнему равен $45^\circ$ , а угол $5\beta$ переносится внутрь треугольника вертикальными. Значит,

$4\beta + 5\beta + 45^\circ = 180^\circ, \qquad 9\beta = 135^\circ, \qquad \beta = 15^\circ.$

Проверка: $4 \cdot 15 = 60^\circ$ , $5 \cdot 15 = 75^\circ$ , и $60 + 75 + 45 = 180$ .

Следующий шаг

Ещё одна задача про квадрат, где выручает одно верно проведённое построение: площадь серой части квадрата. Там линию, наоборот, приходится добавить.