Квадрат произведения: как помогают пары простых множителей

Само число $A$ неизвестно: сказано лишь, что $12A$ — квадрат. И всё же можно найти все двузначные $B$, при которых $AB$ тоже квадрат, причём сразу для любого такого $A$. Ниже — почему для этого не нужно знать $A$: достаточно понять, как устроены его простые множители.

Задача

$A$ — натуральное число, причём $12A$ является квадратом натурального числа. Найдите все двузначные натуральные числа $B$, для которых $AB$ также является квадратом натурального числа. Ответ должен подходить для любого $A$ с указанным свойством.

Здесь $AB$ — произведение $A \cdot B$, а не число, записанное двумя цифрами. Двузначным должно быть только $B$; для $A$ и для произведения такого ограничения нет.

Это авторская учебная вариация задачи 4 школьного этапа ВсОШ — Всероссийской олимпиады школьников — на платформе «Сириус», 2021/22 учебный год, 8 класс, группа 2 (разбор организаторов, страница 4). В оригинале спрашивали, сколько существует трёхзначных $B$, если квадратом является $8A$, а в одном из вариантов — сколько $B$ от 1000 до 2000, если квадратом является $12A$. Мы взяли $12A$ и просим перечислить двузначные $B$. Наша формулировка не является дословным условием олимпиады; авторство исходной задачи принадлежит организаторам.

Попробуйте до чтения разбора: разложите 12 на простые множители. Что из этого разложения обязательно должно найтись в числе $A$, чтобы $12A$ стало квадратом?

Догадка

«Раз $12A$ — квадрат, возьму $A = 3$: тогда $12 \cdot 3 = 36$. Дальше подберу двузначные $B$, при которых $3B$ — квадрат.»

Подбор при $A = 3$ действительно даст четыре числа. Но условие требует, чтобы ответ подходил для любого допустимого $A$, а $A = 3$ лишь одно из них: годятся и 12, и 27, и 48. Пока не понятно, как устроено любое такое $A$, нельзя ручаться, что найденные $B$ подойдут и для остальных. Нужен не пример, а строение числа.

Рассуждение

Чего ищем. Не само $A$, а условие на $B$, которое выполняется при всех подходящих $A$ сразу. Для этого нужно понять, что общего у всех чисел $A$, для которых $12A$ — квадрат.

Почему у квадрата множители ходят парами. Квадрат — произведение двух одинаковых чисел. Например, $36 = 6 \cdot 6$. Разложим обе шестёрки: $(2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3)$. Получились два одинаковых набора простых множителей, и каждому множителю из первого набора находится такой же во втором. Перегруппируем: $36 = (2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3)$.

Верно и обратное: если все простые множители числа разбиваются на пары одинаковых, число — квадрат. Из каждой пары берём по одному множителю в каждое из двух произведений, и произведения получаются одинаковыми. Так, $72 = (2 \cdot 2) \cdot 2 \cdot (3 \cdot 3)$ — не квадрат: у одной двойки нет пары. А $144 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3)$ — квадрат. Единица тоже квадрат: $1 = 1^2$, хотя простых множителей у неё нет.

Что известно о числе $A$. Разложим 12: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$. Двойки образуют пару, а у тройки пары нет. Но $12A$ по условию квадрат, значит, в разложении $A$ обязательно есть тройка, которая дополнит тройку из двенадцати до пары. Отметим её. Все остальные простые множители $A$ должны разбиваться на пары между собой: иначе в произведении $12A$ останется множитель без пары.

Значит, $A$ равно тройке, умноженной на квадрат натурального числа: $A = 3m^2$. Число $A$ не обязано равняться трём: подходят $3 = 3 \cdot 1^2$, $12 = 3 \cdot 2^2$, $27 = 3 \cdot 3^2$, $48 = 3 \cdot 4^2$. При любом натуральном $m$ получаем $12A = 36m^2 = (6m)^2$.

Каким должно быть $B$. Теперь рассматриваем произведение $AB$. В разложении $A$ без пары только отмеченная тройка. Чтобы произведение стало квадратом, в $B$ нужна тройка ей в пару, а остальные простые множители $B$ должны разбиваться на пары между собой. Поэтому $B = 3n^2$, где $n$ — натуральное число. Квадраты $m^2$ и $n^2$ могут быть разными.

Доказательство

Шаг 1. Строение $A$. Как показано выше, $A = 3m^2$ при некотором натуральном $m$, и других допустимых $A$ нет.

Шаг 2. Только $B = 3n^2$. Если $AB$ — квадрат, то в $B$ есть тройка, парная к отмеченной тройке из $A$, а остальные множители $B$ разбиты на пары. Значит, $B = 3n^2$. Любое другое $B$ не подходит уже при $A = 3$.

Шаг 3. Двузначные значения. Выписываем квадраты натуральных чисел по порядку и умножаем каждый на три:

Остаются $n = 2, 3, 4, 5$:

$B = 12,\; 27,\; 48,\; 75.$

Шаг 4. Подходят при любом допустимом $A$. Для $A = 3m^2$ и $B = 3n^2$:

$AB = 3m^2 \cdot 3n^2 = 9m^2n^2 = (3mn)^2.$

Равенство верно при любом натуральном $m$. Значит, каждое из четырёх чисел годится не для одного примера $A$, а сразу для всех чисел с нужным свойством. На языке пар: две отмеченные тройки образуют пару, а остальные пары сохраняются.

Ответ: 12, 27, 48, 75.

Проверим на двух значениях $A$. При $A = 3$ произведения равны $36 = 6^2$, $81 = 9^2$, $144 = 12^2$, $225 = 15^2$. При $A = 12$: $144 = 12^2$, $324 = 18^2$, $576 = 24^2$, $900 = 30^2$. Сходится.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Авторская задача на тот же приём, близкая к исходной олимпиадной. Пусть $8A$ — квадрат натурального числа. Найдите все двузначные натуральные $B$, при которых $AB$ — квадрат для любого такого $A$.

Подсказка

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$: одна двойка без пары. Значит, $A = 2m^2$. Каким тогда должно быть $B$?

Показать ответ

$B = 2n^2$. Двузначные значения дают $n = 3, 4, 5, 6, 7$: 18, 32, 50, 72, 98.

Проверка границ: $2 \cdot 2^2 = 8$ ещё однозначное, $2 \cdot 8^2 = 128$ уже трёхзначное. При $A = 2$ произведения равны $36, 64, 100, 144, 196$ — квадраты чисел $6, 8, 10, 12, 14$.

Следующий шаг

Ещё одна задача, где смотрят не на само число, а на его строение: сто одна строка без огромных чисел. Там вместо гигантской записи следят за суммой цифр и доказывают, что порядок повторяется.

Другой способ не перебирать: шестизначные числа из единиц и двоек, где все варианты считают по дереву, а потом вычитают неподходящие.