Площадь серой части квадрата: дополнительное построение

Серая часть квадрата не похожа ни на одну фигуру из учебника, а её площадь спрашивают. Две дополнительные линии превращают её в квадрат и треугольник. Ниже — откуда берутся эти линии и почему части равны.

Задача

Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 200 см². Точка $O$ — центр квадрата, а точка $M$ — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?

Задача школьного этапа ВсОШ — Всероссийской олимпиады школьников — на платформе «Сириус»: математика, 7 класс, 2025 год, группа 2, задание 2, вариант 1. Условие и авторство принадлежат организаторам; ниже — наш учебный разбор.

Попробуйте решить до чтения разбора. Какие знакомые фигуры можно увидеть внутри серой части? Сторону квадрата вычислять не обязательно.

Догадка

Отрезок $OC$ лежит на диагонали квадрата, а диагональ делит квадрат на две равные половины. Значит, серая часть — половина, 100 см²?

Первая мысль почти всегда такая: увидеть в наклонном отрезке диагональ. И это правда: диагональ $AC$ проходит через центр $O$, так что $OC$ — её половина. Но верна ли вторая часть догадки — что серая фигура «половина квадрата»? Проверим на рисунке.

Рассуждение

Сколько на самом деле? Серая часть целиком лежит в правой половине квадрата, но не заполняет её: над отрезком $OC$ остаётся белый треугольник. Значит, площадь меньше половины, то есть меньше 100 см². С другой стороны, правая нижняя четверть закрашена целиком, а сверху есть ещё кусок — значит, площадь больше 50 см². Догадка про 100 уже не проходит, но границы «между 50 и 100» мы получили, и они пригодятся для проверки.

Откуда взять точное число. Обратите внимание, какие точки названы в условии: центр квадрата и середина стороны. Это не случайность. Прямая через $O$ и $M$ делит квадрат на две равные части, а такая же прямая поперёк, через $O$, — ещё раз пополам. Проведём обе.

Получились четыре части. Это именно квадраты: все углы у них прямые, а обе стороны каждой части равны половине стороны большого квадрата. Раз четыре квадрата равны, площадь каждого

$$200 : 4 = 50\ \text{см}^2.$$

Теперь смотрим, что из них закрашено. Нижний правый квадрат закрашен целиком: это 50 см². Верхний правый квадрат разрезан отрезком $OC$ на два треугольника, закрашен один из них. Но $OC$ соединяет противоположные вершины маленького квадрата, то есть это его диагональ, а диагональ делит квадрат пополам:

$$50 : 2 = 25\ \text{см}^2.$$

Складываем: $50 + 25 = 75$ см². Число попало в найденные границы — между 50 и 100. А догадке про 100 не хватило как раз белого треугольника над $OC$: тех самых 25 см².

Доказательство

Проведём то же рассуждение аккуратно, чтобы каждый шаг можно было объяснить.

1. Дополнительное построение. Пусть $N$ — середина верхней стороны $BC$, а $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $CD$. Проведём отрезки $MN$ и $PQ$. Прямая $MN$ соединяет середины противоположных сторон, поэтому параллельна сторонам $AB$ и $CD$ и является осью симметрии квадрата: при отражении относительно неё квадрат переходит в себя, а диагонали меняются местами. Точка пересечения диагоналей — центр $O$ — при этом остаётся на месте, значит, лежит на $MN$. То же верно для $PQ$. Итак, обе прямые проходят через $O$, а точка $O$ и есть данная в условии вершина серой части.

2. Четыре равных квадрата. Отрезки $MN$ и $PQ$ параллельны сторонам, поэтому делят квадрат на четыре четырёхугольника с прямыми углами. Две стороны каждого — половины сторон большого квадрата, ведь $M$, $N$, $P$ и $Q$ — середины; две другие равны им как противоположные стороны прямоугольника. Значит, это четыре равных квадрата, и площадь каждого $200 : 4 = 50$ см².

3. Целый квадрат. Квадрат $MOQD$ лежит внутри серой части целиком: его границы — отрезок $MO$, половина нижней стороны и половина правой стороны — совпадают с границами серой части, а четвёртая сторона $OQ$ идёт внутри неё. Его площадь 50 см².

4. Половина квадрата. В квадрате $ONCQ$ отрезок $OC$ — диагональ. Треугольники $OQC$ и $ONC$ равны по двум сторонам и углу между ними: $OQ = ON$ и $QC = NC$ как стороны одного маленького квадрата, а углы $Q$ и $N$ прямые. Равные треугольники имеют равные площади и вместе составляют квадрат, поэтому площадь каждого $50 : 2 = 25$ см². Закрашен треугольник $OQC$.

5. Сумма. Квадрат $MOQD$ и треугольник $OQC$ не перекрываются и вместе заполняют серую часть без остатка. Поэтому

$$S = 50 + 25 = 75\ \text{см}^2.$$

Короткая запись того же решения, как в официальном разборе: серая часть — четверть квадрата и ещё половина четверти,

$$\frac14 + \frac18 = \frac38, \qquad 200 \cdot \frac38 = 75.$$

Ответ: 75 см².

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Тот же рисунок, но теперь наоборот: площадь серой части равна 60 см², а площадь всего квадрата неизвестна. Найдите её.

Показать ответ

Проведите те же две линии. Половина маленького квадрата — одна доля. В серой части три такие доли: две в нижнем квадрате и одна сверху, поэтому одна доля равна $60 : 3 = 20$ см². Во всём квадрате четыре маленьких квадрата по две доли, всего восемь: $20 \cdot 8 = 160$ см².

Проверка в прямом порядке: $160 : 4 = 40$ см² — нижний квадрат, $40 : 2 = 20$ см² — верхний треугольник, $40 + 20 = 60$ см², как и дано.

Ответ: 160 см².