Почему 37° и 16° нельзя просто сложить?

Потому что 16° уже входит внутрь угла 37°, а не пристраивается к нему сбоку. Луч, параллельный стороне, делит угол 37° на две части, и одна из них равна 16°. Складывая их, мы посчитали бы эту часть дважды. Вычитание даёт верное значение второй части: 37 − 16 = 21.

Какой из двух способов правильнее?

Оба полные и оба засчитываются. Первый добавляет две вспомогательные линии и работает накрест лежащими углами. Второй не добавляет ничего: он считает два угла при точке P через прямоугольные треугольники и вычитает их из развёрнутого угла.

Ответ зависит от того, какой ширины прямоугольник?

Нет. Три данных угла полностью задают и форму прямоугольника, и положение точек P и Q с точностью до подобия. Мы проверили это построением: при любой ширине искомый угол выходит одним и тем же.

Угол в прямоугольнике: два способа разбить его на части

Даны три угла в разных концах прямоугольника, найти нужно четвёртый. Прямой связи между ними нет, и оба решения начинаются с одной мысли: искомый угол надо разбить на части, о которых уже что-то известно. А вот дальше пути расходятся.

два видеоразбора · 2 мин 23 с и 2 мин 24 с

Два ролика — по одному на каждый способ

В первом появляются две вспомогательные линии и углы переезжают на нужные места. Во втором не добавляется ничего: работают прямые углы прямоугольника и сумма углов треугольника. В статье оба решения с чертежами и задачей для самостоятельной пробы.

Ролики лежат на нашем сервере: без сторонних проигрывателей и рекламы. Звук включается в плеере.

Первый способ: две параллельные линии. 2 мин 23 с.

Второй способ: суммы углов, без новых линий. 2 мин 24 с.

Задача

На стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ выбрана точка $P$ , а на стороне $CD$ — точка $Q$ . Известно, что $\angle BCP = 17^\circ$ , $\angle AQP = 37^\circ$ , $\angle QAD = 16^\circ$ . Сколько градусов составляет $\angle CPQ$ ?

Прямоугольник ABCD: A внизу слева, B вверху слева, C вверху справа, D внизу справа. Точка P на стороне AB, точка Q на стороне CD. Проведены отрезки CP, PQ и QA. При C отмечен угол 17 градусов, при Q — 37 градусов, при A — 16 градусов, искомый угол при P отмечен вопросительным знаком. — Чертёж перерисован нами по рисунку из условия. Он не в масштабе, измерять углы транспортиром не нужно.

Задача школьного этапа ВсОШ — Всероссийской олимпиады школьников — в Москве, 2023/24 учебный год, 8 класс, задание 2. Оригинал условия, страница 1. Условие и авторство принадлежат организаторам; ниже — наш учебный разбор.

Обратите внимание: фигура — прямоугольник, а не квадрат. Никакой диагонали и никаких $45^\circ$ здесь не будет.

Догадка

Углы 37° и 16° стоят рядом друг с другом. Наверное, их надо сложить: $37 + 16 = 53$ , а дальше как-нибудь дойти до ответа.

Складывать нельзя, и разобраться почему — половина решения. Угол в $16^\circ$ не пристраивается к углу в $37^\circ$ сбоку, а лежит внутри него. При сложении эта общая часть посчитается дважды. Правильное действие — вычитание, и ниже видно, откуда оно берётся.

Рассуждение: что общего у двух решений

Искомый угол $CPQ$ ни с чем напрямую не связан: данные углы стоят у трёх других вершин. Значит, надо разбить его на части, каждая из которых с чем-то связана.

Разбить можно двумя разными способами, и они дают два разных решения:

провести внутрь угла луч, параллельный стороне, и получить две части, каждая из которых равна известному углу;
заметить, что при точке $P$ три угла в сумме дают развёрнутый, и найти два крайних.

Доказательство, способ первый: две параллельные линии

Шаг 1. Переносим угол 17° к точке P. Проведём через $P$ отрезок $PR$ , параллельный стороне $BC$ , до стороны $CD$ . Прямые $BC$ и $PR$ параллельны, $PC$ — секущая, значит, углы $BCP$ и $CPR$ накрест лежащие:

$\angle CPR = \angle BCP = 17^\circ.$

Тот же чертёж. Через точку P пунктиром проведён отрезок PR, параллельный стороне BC. При C отмечен угол 17 градусов, при P между лучами к C и к R — равный ему угол 17 градусов. — Луч $PR$ проходит внутри искомого угла и отсекает от него верхнюю часть.

Шаг 2. Разбираемся с углом при Q. Проведём через $Q$ отрезок $QS$ , параллельный стороне $AD$ , до стороны $AB$ . По той же причине углы $QAD$ и $AQS$ накрест лежащие, поэтому $\angle AQS = 16^\circ$ .

Луч $QS$ проходит внутри угла $AQP$ , деля его на две части. Весь угол равен $37^\circ$ , нижняя часть — $16^\circ$ , значит, верхняя равна

$\angle SQP = 37^\circ - 16^\circ = 21^\circ.$

Тот же чертёж. Через точку Q пунктиром проведён отрезок QS, параллельный стороне AD. При A отмечен угол 16 градусов, при Q угол 37 градусов разделён на части 16 и 21 градус. — Вот здесь и работает вычитание вместо сложения: $16^\circ$ — часть угла $37^\circ$ .

Шаг 3. Соединяем два переноса. В прямоугольнике $BC \parallel AD$ . Мы провели $PR \parallel BC$ и $QS \parallel AD$ , поэтому $PR \parallel QS$ . При секущей $PQ$ углы $RPQ$ и $PQS$ накрест лежащие:

$\angle RPQ = \angle SQP = 21^\circ.$

Шаг 4. Складываем части. Луч $PR$ делит искомый угол на $CPR$ и $RPQ$ :

$\angle CPQ = 17^\circ + 21^\circ = 38^\circ.$

Тот же чертёж с двумя пунктирными отрезками PR и QS. Луч PR делит искомый угол на верхнюю часть 17 градусов и нижнюю 21 градус, равную углу при Q. — Обе части искомого угла оказались равны известным углам в других концах прямоугольника.

Доказательство, способ второй: суммы углов, без новых линий

Шаг 1. Находим угол BPC. Точка $P$ лежит на стороне $AB$ , поэтому угол $CBP$ — это угол между сторонами прямоугольника, то есть прямой. В треугольнике $BCP$ известны два угла из трёх:

$\angle BPC = 180^\circ - 90^\circ - 17^\circ = 73^\circ.$

Тот же чертёж, заливкой выделен треугольник BCP. При вершине B знак прямого угла, при C отмечено 17 градусов, при P — 73 градуса. — Первый прямоугольный треугольник: прямой угол даёт сам прямоугольник.

Шаг 2. Находим угол PAQ. Угол $BAD$ при вершине прямоугольника прямой. Луч $AP$ идёт по стороне $AB$ , а луч $AQ$ делит прямой угол на две части, одна из которых равна $16^\circ$ :

$\angle PAQ = 90^\circ - 16^\circ = 74^\circ.$

Шаг 3. Находим угол APQ. Теперь в треугольнике $APQ$ известны два угла: $74^\circ$ при $A$ и $37^\circ$ при $Q$ . Третий равен

$\angle APQ = 180^\circ - 74^\circ - 37^\circ = 69^\circ.$

Тот же чертёж, заливкой выделен треугольник APQ. Прямой угол при A разделён на 74 и 16 градусов, при Q отмечено 37 градусов, при P — 69 градусов. — Второй треугольник. Прямой угол при $A$ снова разделён, и снова вычитанием.

Шаг 4. Вычитаем из развёрнутого угла. Точки $B$ , $P$ и $A$ лежат на одной прямой, причём $P$ между $B$ и $A$ . Значит, три угла при вершине $P$ дают в сумме развёрнутый:

$\angle BPC + \angle CPQ + \angle QPA = 180^\circ.$

Два крайних уже найдены, поэтому

$\angle CPQ = 180^\circ - 73^\circ - 69^\circ = 38^\circ.$

Тот же чертёж. Развёрнутый угол при точке P разделён лучами PC и PQ на три части: 73 градуса, искомый угол и 69 градусов. — Искомый угол — то, что осталось от развёрнутого после двух известных частей.

Ответ: $\angle CPQ = 38^\circ$ . Оба способа дают его независимо друг от друга.

Проверим все суммы. В треугольнике $BCP$ : $90 + 17 + 73 = 180$ . В треугольнике $APQ$ : $74 + 37 + 69 = 180$ . При вершине $P$ : $73 + 38 + 69 = 180$ . Прямой угол при $A$ тоже собирается обратно: $74 + 16 = 90$ .

Что и требовалось — понять

Сложить $37^\circ$ и $16^\circ$ , чтобы получить угол при $Q$ целиком. Но $37^\circ$ — это и есть весь угол $AQP$ , а $16^\circ$ — часть, которая в него входит. При сложении общая часть посчитается дважды.

Исправление: сначала назвать целый угол и обе его части, а потом вычесть известную часть из целого: $37^\circ - 16^\circ = 21^\circ$ . Та же осторожность нужна и во втором способе, где прямой угол при $A$ делится на $74^\circ$ и $16^\circ$ .

Если искомый угол ни с чем не связан напрямую, разбейте его на части. Луч, проведённый внутри угла, делит его на два — и каждый из них может оказаться знакомым.

Параллельная линия переносит известный угол туда, где он нужен: накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Это стоит недорого, всего одна вспомогательная линия, а взамен даёт готовую часть искомого угла.

Развёрнутый угол работает так же, только в обратную сторону: если на прямой отмечена точка и из неё выходят лучи, все углы при ней складываются в $180^\circ$ . Зная два, находим третий вычитанием.

И самое частое место ошибки: прежде чем складывать два угла, убедитесь, что один не лежит внутри другого. Соседние углы складываются, вложенные — вычитаются.

Попробуйте сами

Авторская задача на тот же приём, не олимпиадная. То же построение, но данные углы равны $20^\circ$ , $40^\circ$ и $15^\circ$ . Найдите угол при точке $P$ .

Тот же прямоугольник ABCD с точками P и Q и отрезками CP, PQ, QA. При C отмечен угол 20 градусов, при Q — 40 градусов, при A — 15 градусов, искомый угол при P отмечен вопросительным знаком. — Построение прежнее, изменились только числа при углах.

Подсказка

Решите обоими способами и сравните, какой оказался быстрее. В первом сначала найдите часть угла при $Q$ , во втором — два угла при точке $P$ .

Показать ответ

Способом первым: верхняя часть искомого угла равна $20^\circ$ , нижняя равна $40^\circ - 15^\circ = 25^\circ$ . Вместе $20 + 25 = 45^\circ$ .

Способом вторым: $\angle BPC = 180 - 90 - 20 = 70^\circ$ , затем $\angle PAQ = 90 - 15 = 75^\circ$ и $\angle APQ = 180 - 75 - 40 = 65^\circ$ . Остаток развёрнутого угла: $180 - 70 - 65 = 45^\circ$ .

Ответ: 45°.

Следующий шаг

Ещё одна задача про углы, где ничего достраивать не нужно: угол в квадрате. Там нужный треугольник уже нарисован, а известный угол переносится вертикальными.

А если хотите сравнить два решения одной задачи не по геометрии: сто одна строка, одно начало и два решения.