Почему равенства можно складывать?

Каждое равенство говорит, что две величины равны. Если сложить левые части трёх равенств и отдельно правые, мы в обеих суммах заменяем каждое слагаемое равной ему величиной, поэтому суммы тоже равны. Значения самих равенств при этом могут быть разными.

Почему в первое уравнение не входит красная коробка?

Нижний конец стрелки лежит на верхней грани зелёной коробки, которая стоит на полу, а не на верхе всей стопки. Красная коробка стоит выше этого уровня, поэтому в расстояние она не попадает.

Можно ли по условию найти высоту каждой коробки?

Нет. Трёх уравнений не хватает для четырёх неизвестных: подходящих наборов размеров бесконечно много. Но во всех этих наборах высота стола одна и та же — 91 см, потому что после сложения остаётся только 3h = 273.

Высота стола: складываем три равенства

Высота стола неизвестна, высота каждой коробки — тоже. Кажется, что сначала придётся найти размеры всех трёх коробок. Ниже — почему этого не требуется: хватит правильно прочитать стрелки и сложить три равенства.

видеоразбор · 2 мин 30 с

Тот же разбор за две с половиной минуты

Правило сложения на весах, три стрелки, система и сокращение пар. В статье то же решение с чертежами и задачей для самостоятельной пробы.

Ролик лежит на нашем сервере: без сторонних проигрывателей и рекламы. Звук включается в плеере.

Задача

Оля купила три подарка и упаковала их в три прямоугольные коробки: синюю, красную и зелёную. Она попробовала поставить эти подарки разными способами: один на стол и два друг на друга на пол. На рисунке даны некоторые расстояния. Найдите высоту стола $h$ . Ответ выразите в сантиметрах.

Три расстановки коробок. Слева синяя коробка на столе, зелёная под красной на полу: стрелка 111 см идёт от верха синей до верха зелёной. В центре красная на столе, синяя под зелёной на полу: стрелка 80 см доходит до верха синей. Справа зелёная на столе, красная под синей на полу: стрелка 82 см доходит до верха красной. — Схема перерисована для читаемости: расположение коробок и концы стрелок сохранены. Рисунок не в масштабе, измерять его линейкой не нужно.

Задача пригласительного этапа ВсОШ — Всероссийской олимпиады школьников — на платформе «Сириус»: математика, 8 класс, 2022 год, задание 3, вариант 1. Условие и авторство принадлежат организаторам; ниже — наш учебный разбор.

Попробуйте найти первый ход до чтения разбора. У каждой стрелки два конца: на каком уровне от пола находится верхний, а на каком нижний?

Догадка

Неизвестных четыре: высота стола и три коробки, а уравнений всего три. Значит, данных не хватает — сначала надо как-то найти размеры коробок.

Первая половина верна: найти размеры коробок по условию действительно нельзя, подходящих наборов бесконечно много. Вторая половина — нет. Спрашивают не все четыре величины, а одну. Проверим, обязательно ли знать остальные.

Рассуждение

Сначала о том, что мы имеем право делать. Представьте трое весов. На первых с каждой стороны вес 3, на вторых 5, на третьих 4. Значения на разных весах разные, но на каждых весах левая сторона равна правой.

Три равновесия: 2 плюс 1 равно 3, 4 плюс 1 равно 5, 2 плюс 2 равно 4. Левые грузы зелёные, правые красные. После переноса всех левых грузов на одну левую чашу, а правых на правую, получается 12 равно 12. — Цифры обозначают вес, а не размер гири. Переложили левые грузы налево, правые направо — равновесие сохранилось.

Слева получится $3+5+4=12$ , справа столько же. С равенствами так же: можно сложить их левые части и отдельно правые, суммы будут равны. Мы просто заменяем каждую часть равной ей величиной. Одинаковые значения у исходных равенств для этого не нужны.

Теперь превратим рисунок в равенства. Обозначим высоту синей коробки $b$ , красной $r$ , зелёной $g$ ; все величины в сантиметрах. Во всех трёх расстановках это одни и те же коробки в одном и том же положении, поэтому их высоты не меняются.

Уровни считаем от пола. Расстояние между концами стрелки — разность уровней.

Синяя коробка стоит на столе, поэтому до её верха от пола $h+b$ . Зелёная стоит на полу, её верх на уровне $g$ . Вычитаем нижний уровень из верхнего:

$h+b-g=111.$

Красная коробка на рисунке есть, но в это равенство не входит: ни один конец стрелки не лежит на её верхней грани. Правило то же для остальных двух стрелок. У стрелки 80 см верхний конец на красной коробке, стоящей на столе, то есть на уровне $h+r$ ; нижний — верх синей на полу, уровень $b$ . У стрелки 82 см верхний уровень $h+g$ , нижний $r$ :

$h+r-b=80, \qquad h+g-r=82.$

Почему складывать стоит именно эти три. Посмотрим, как встречаются буквы коробок: $b$ входит один раз с плюсом и один раз с минусом, $r$ так же, $g$ так же. При сложении каждая объединится со своей противоположностью и исчезнет. А $h$ во всех трёх равенствах стоит с плюсом и останется.

Доказательство

Складываем левые части, а справа — три известных расстояния:

\begin{aligned} &(h+b-g)+(h+r-b)+(h+g-r) \\ &\qquad = 111+80+82. \end{aligned}

Перед каждой скобкой стоит плюс, поэтому при раскрытии знаки внутри сохраняются. Переставим слагаемые вместе с их знаками и соберём противоположные пары:

\begin{aligned} h+h+h+(b-b)+(r-r)+(g-g) &= 273, \\ 3h &= 273. \end{aligned}

Число 3 не равно нулю, поэтому делим обе части на 3:

$h = 273 : 3 = 91.$

Ответ: высота стола — 91 см.

Проверим, что ответ согласуется со всеми тремя расстояниями. Возьмём, например, $b=30$ , $g=10$ , $r=19$ :

\begin{aligned} 91+30-10 &= 111, \\ 91+19-30 &= 80, \\ 91+10-19 &= 82. \end{aligned}

Все размеры положительны, все три расстояния получились нужными. Это пример подходящих размеров, а не утверждение, что коробки Оли были именно такими: наборов размеров бесконечно много. Но в каждом из них после сложения остаётся $3h=273$ , поэтому высота стола определена однозначно.

Что и требовалось — понять

Записать для первой стрелки $h+b-(r+g)=111$ , то есть вычесть высоту всей стопки. Так считается расстояние до верха красной коробки, а нижний наконечник стрелки лежит ниже — на верхней грани зелёной.

Исправление простое: сначала найдите оба наконечника стрелки, затем запишите уровень каждого от пола. Здесь нижний уровень равен $g$ , а не $r+g$ .

Сложение равенств выручает, когда нужно найти не все неизвестные, а одну величину или их сумму. Выпишите связи и посмотрите, нет ли лишней величины, которая входит с противоположными знаками и одинаковыми коэффициентами: $+b$ и $-b$ уничтожаются.

А вот $+2b$ и $-b$ оставят $b$ — одного сложения уже мало, сначала придётся умножить какое-то равенство целиком на подходящее число. И помните: сумма уравнений — следствие системы, а не замена всем её условиям, поэтому найденный результат стоит проверить.

Попробуйте сами

Авторская задача на тот же приём, не олимпиадная. В тех же трёх расстановках и с теми же концами стрелок расстояния слева направо равны 99, 87 и 84 см. Найдите высоту нового стола.

Подсказка

Левые части трёх равенств останутся прежними, изменятся только числа справа. Что получится после сложения?

Показать ответ

Получаем $h+b-g=99$ , $h+r-b=87$ , $h+g-r=84$ . После сложения $3h=270$ , откуда $h=90$ см.

Проверка: при $b=20$ , $g=11$ , $r=17$ выходит $90+20-11=99$ , $90+17-20=87$ , $90+11-17=84$ . Все три условия выполнены.

Следующий шаг

Другая задача, где не нужно находить все неизвестные: как найти $a$ через общий множитель и правило весов. Там лишние величины исчезают не при сложении, а после вынесения общего множителя.