Почему можно не знать скорость велосипедиста?

В оба момента он едет с одной и той же скоростью. Обозначаем её буквой, и она входит в оба пути общим множителем. При сравнении путей общий множитель сокращается, и ответ от него не зависит. Скорость так и остаётся неизвестной, и это не мешает.

Что обозначает буква t в решении?

Не время на часах, а сколько минут велосипедист ехал к 11:08. Это длительность. После того как t найдено, время старта получается отдельно: из 11:08 вычитаем эти минуты.

Почему к 11:22 время в пути равно t + 14?

Между 11:08 и 11:22 прошло 14 минут. Велосипедист не останавливался, поэтому ко второму моменту он ехал на 14 минут дольше, чем к первому.

Когда стартовал велосипедист: одна буква вместо неизвестной скорости

Скорость не названа, расстояние тоже. Кажется, что данных не хватает. Ниже — почему хватает: обе неизвестные величины выражаются через одну и ту же букву, и она сокращается.

видеоразбор · 2 мин 53 с

Тот же разбор за три минуты

Два показания часов ложатся на ось времени, скорость получает букву, уравнение собирается и решается на глазах. В статье то же решение с чертежами, проверкой и задачей для самостоятельной пробы.

Ролик лежит на нашем сервере: без сторонних проигрывателей и рекламы. Звук включается в плеере.

Задача

Велосипедист едет по треку с постоянной скоростью. Известно, что к 11:22 он проехал в $1{,}4$ раза больший путь, чем к 11:08. Когда он стартовал?

Ось времени. Слева отметка со знаком вопроса — момент старта. Правее две отметки, 11:08 и 11:22, между ними 14 минут. Подпись: путь к 11:22 в 1,4 раза больше пути к 11:08. — Рисунка в условии нет, схема наша. На ней только то, что дано: два момента и промежуток между ними.

Задача школьного этапа ВсОШ — Всероссийской олимпиады школьников — по математике, 8 класс, группа 4, 25 октября 2021 года, задание 1, вариант 1. Условие и авторство принадлежат организаторам; ниже — наш учебный разбор. В оригинале после условия стоит просьба записать ответ по образцу «15:45» — это только формат записи, а не данные задачи.

Попробуйте до чтения найти первый ход. Не подбирайте скорость наугад: что можно сказать о двух путях, если скорость одна и та же?

Догадка

«В 1,4 раза больший путь» — значит, за эти 14 минут он проехал 1,4 чего-то. Наверное, надо приравнять 14 к 1,4 и поделить.

Ловушка в самой фразе. Число $1{,}4$ — не путь и не время, а во сколько раз один путь больше другого. Его нельзя приравнивать к минутам. Правильный ход — записать оба пути через одну скорость и только потом сравнить.

Рассуждение

Чего ищем. Не скорость и не расстояние, а момент старта. К нему удобно идти через промежуточную величину: сколько минут велосипедист ехал к 11:08. Обозначим эту длительность $t$ . Это не время на часах, а количество минут.

Скорость получает букву. Обозначим её $v$ . Она постоянна и больше нуля: велосипедист едет, а не стоит. Путь равен скорости, умноженной на время, и эту формулу можно применить к обоим моментам с одной и той же буквой $v$ .

Второй момент. От 11:08 до 11:22 прошло 14 минут. Велосипедист не останавливался, значит, к 11:22 его время в пути равно $t + 14$ .

Доказательство

Шаг 1. Записываем оба пути. К 11:08 велосипедист проехал $S_1 = vt$ . К 11:22 он ехал $t + 14$ минут с той же скоростью:

$S_2 = v\,(t + 14).$

Шаг 2. Переводим условие в уравнение. Второй путь в $1{,}4$ раза больше первого. «В раза больше» — это умножение:

$v\,(t + 14) = 1{,}4\,vt.$

Шаг 3. Сокращаем скорость. Число $v$ положительно, значит, не равно нулю, и на него можно делить обе части:

$t + 14 = 1{,}4\,t.$

Скорость исчезла из уравнения. Именно поэтому её и не требовалось знать.

Шаг 4. Решаем. Вычитаем $t$ из обеих частей и делим на $0{,}4$ , которое тоже не ноль:

$14 = 0{,}4\,t, \qquad t = 14 : 0{,}4 = 35.$

Шаг 5. Возвращаемся к часам. К 11:08 велосипедист ехал 35 минут. Значит, старт был на 35 минут раньше:

$11\mathbin{:}08 - 35\ \text{мин} = 10\mathbin{:}33.$

Ответ: велосипедист стартовал в 10:33.

Проверим по условию. От 10:33 до 11:08 проходит 35 минут, до 11:22 — 49 минут. При постоянной скорости отношение путей равно отношению времён: $49 : 35 = 1{,}4$ . Сходится.

Та же ось времени. Старт подписан 10:33. Две скобки от старта: до 11:08 — 35 минут, до 11:22 — 49 минут. Рядом равенство 49 делить на 35 равно 1,4. — Проверка показывает и смысл числа 1,4: ко второму моменту пройдено сто сорок процентов от первого пути.

Что и требовалось — понять

Прочитать «в 1,4 раза больший путь» как «на 1,4 больше» и записать $t + 14 = 1{,}4$ . Здесь перепутаны умножение и сложение, а заодно минуты приравнены к безразмерному отношению.

Исправление: сначала выписать оба пути через $v$ и $t$ , и только потом переводить слова условия в знак. «В раза больше» даёт множитель перед вторым путём, а не слагаемое.

Когда в задаче на движение нет ни скорости, ни расстояния, а есть два момента и отношение путей, дайте скорости букву. Она войдёт в оба пути общим множителем и сократится. Неизвестных как будто две, а уравнение получается с одной.

Различайте длительность и показание часов. Буква $t$ здесь — сколько минут ехал, а не «во сколько». Ответ на вопрос «когда» получается отдельным шагом, вычитанием из известного момента.

Приём держится на постоянстве скорости. Если она менялась, путь уже не записать одной формулой с общим множителем, и отношение путей не равно отношению времён. Тогда нужны сведения о каждом участке отдельно.

Попробуйте сами

Авторская задача на тот же приём, не олимпиадная. Велосипедист едет с постоянной скоростью, и к 09:42 он проехал в $1{,}25$ раза больший путь, чем к 09:30. Когда он стартовал?

Подсказка

Между моментами 12 минут. Если к 09:30 он ехал $t$ минут, то к 09:42 — сколько? Запишите оба пути через $v$ и сократите $v$ .

Показать ответ

Уравнение $v\,(t + 12) = 1{,}25\,vt$ после сокращения даёт $12 = 0{,}25\,t$ , откуда $t = 48$ . Старт на 48 минут раньше 09:30, то есть в 08:42.

Проверка: от 08:42 до 09:30 проходит 48 минут, до 09:42 — 60 минут, и $60 : 48 = 1{,}25$ .

Следующий шаг

Ещё одна задача, где лишние неизвестные исчезают сами: высота стола и сложение трёх равенств. Там сокращается не общий множитель, а противоположные слагаемые.