Как найти a, если неизвестных три: общий множитель и правило весов

Одно равенство, три неизвестных, а найти нужно только одно из них. Данных хватает: их ровно столько, сколько нужно, если заметить общий множитель. Ниже — два способа решения и то условие задачи, которое разрешает деление.

Задача

Попарно различные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что

$$ab + 2c = ac + 2b.$$

Найдите $a$.

Задача школьного этапа ВсОШ — Всероссийской олимпиады школьников — на платформе «Сириус»: математика, 8 класс, 2024 год, группа 3, задание 1.1. Условие и авторство принадлежат организаторам; ниже — наш учебный разбор. Чертежа в задаче нет, схемы ниже поясняют наше решение.

«Попарно различные» означает, что никакие два из чисел не равны: $a \ne b$, $a \ne c$, $b \ne c$. Например, числа 2, 5 и 7 попарно различны, а 2, 5 и 2 — нет. Запись $ab$ означает произведение $a \cdot b$, как всегда в алгебре; двузначное число так не записывают.

Попробуйте решить сами до чтения разбора. Подсказка одна: значения $b$ и $c$ по отдельности искать не нужно.

Догадка

Одно уравнение и три неизвестных — так не бывает, данных не хватает. Наверное, нужно подобрать какие-нибудь числа: например, $b = 3$, $c = 4$, а $a$ найти из равенства.

Подбор — не худшая мысль. При $b = 3$ и $c = 4$ равенство превращается в $3a + 8 = 4a + 6$, откуда $a = 2$. Но это ответ для одной пары чисел, а задача спрашивает про любые попарно различные $b$ и $c$. Вдруг при других значениях $a$ окажется другим? Чтобы ответить наверняка, нужно рассуждение, которое от подбора не зависит.

Рассуждение

Где стоит $a$. Буква $a$ встречается в двух произведениях: $ab$ слева и $ac$ справа. Если собрать их в одной части равенства, у обоих слагаемых будет общий множитель $a$, и его можно вынести за скобки. Тогда $a$ окажется «в одиночестве» перед скобкой. Попробуем так и сделать.

Правило весов. Равенство удобно представлять как уравновешенные весы: на одной чаше выражение $ab + 2c$, на другой $ac + 2b$, и их значения равны. Правило одно: одинаковое действие с обеими чашами сохраняет равновесие, то есть равенство.

Вычтем $ac$ из обеих частей:

$$ab + 2c - ac = ac + 2b - ac.$$

Справа $ac$ и $-ac$ дают ноль, и остаётся

$$ab + 2c - ac = 2b.$$

Теперь уберём слева слагаемое без $a$. Вычтем $2c$ из обеих частей: слева $2c - 2c = 0$, а справа появляется $-2c$:

$$ab - ac = 2b - 2c.$$

Это и есть школьное правило «перенесли через знак равенства — поменяли знак». Слагаемое никуда не «прыгает»: мы вычли одно и то же выражение с двух сторон. В одной части противоположные слагаемые уничтожились, в другой осталось вычитаемое со знаком минус.

Выносим общие множители. Слева в обоих произведениях есть $a$, справа — 2:

$$a(b - c) = 2(b - c).$$

Раскройте скобки в обеих частях — получится предыдущая строка, так что запись верна. Теперь $a$ и 2 умножены на одну и ту же разность $b - c$. Хочется «сократить»: разделить обе части на $b - c$. Но делить можно только на число, отличное от нуля. Здесь и работает условие задачи: $b \ne c$, значит, $b - c \ne 0$. Делим:

$$\frac{a(b - c)}{b - c} = \frac{2(b - c)}{b - c}, \qquad a = 2.$$

Подбор в догадке дал то же число. Разница в том, что теперь мы знаем: $a = 2$ при любых попарно различных $b$ и $c$, а пара $b = 3$, $c = 4$ была лишь одним примером.

Что было бы без условия. Разрешим $b = c$. Тогда $a(b - c) = 2(b - c)$ превращается в $a \cdot 0 = 2 \cdot 0$, а это верно при любом $a$: значение $a$ ничем не определено, и однозначного ответа у задачи не было бы. Слова «попарно различные» в условии — ключ к делению.

Доказательство

Запишем решение коротко, а затем проверим его вторым способом.

Первый способ: общий ненулевой множитель. Вычитаем из обеих частей $ac$, затем $2c$, выносим множители:

$$\begin{aligned} ab + 2c &= ac + 2b, \\ ab - ac &= 2b - 2c, \\ a(b - c) &= 2(b - c). \end{aligned}$$

По условию $b \ne c$, поэтому $b - c \ne 0$, и обе части можно разделить на $b - c$. Получаем $a = 2$.

Второй способ: группировка и нулевое произведение. Перенесём всё в левую часть, то есть вычтем правую часть из обеих:

$$ab + 2c - ac - 2b = 0.$$

Сгруппируем слагаемые с $a$ и слагаемые с 2, затем вынесем множители в каждой группе:

$$\begin{aligned} (ab - ac) + (2c - 2b) &= 0, \\ a(b - c) + 2(c - b) &= 0. \end{aligned}$$

Скобки похожи, но не одинаковы: $c - b$ и $b - c$ — противоположные числа, $c - b = -(b - c)$. Проверьте раскрытием: $-(b - c) = -b + c = c - b$. Поэтому

$$\begin{aligned} a(b - c) - 2(b - c) &= 0, \\ (b - c)(a - 2) &= 0. \end{aligned}$$

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Первый множитель, $b - c$, нулю не равен по условию. Значит, $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$.

Проверка. Подставим $a = 2$ в исходное равенство: $2b + 2c = 2c + 2b$ — верно при любых $b$ и $c$. Например, при $a = 2$, $b = 3$, $c = 4$ слева $6 + 8 = 14$, справа $8 + 6 = 14$, а числа попарно различны. Подстановка показывает, что ответ согласуется с условием; единственность значения $a$ доказана преобразованиями выше.

Ответ: $a = 2$.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Попарно различные числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что

$$xy + 5z = xz + 5y.$$

Найдите $x$.

Показать ответ

Вычтем из обеих частей $xz$, затем $5z$: $xy - xz = 5y - 5z$, то есть $x(y - z) = 5(y - z)$. По условию $y \ne z$, значит, $y - z \ne 0$; делим обе части на эту разность и получаем $x = 5$.

Проверка: при $x = 5$ равенство превращается в $5y + 5z = 5z + 5y$. Например, $y = 1$, $z = 3$: обе части равны 20, а числа 5, 1 и 3 попарно различны.

Ответ: $x = 5$.