Точек P бесконечно много: ищем наименьшее AP

В девятом классе условия о площадях часто выгодно переводить в условия о расстояниях. Эта задача — образцовый случай.

Задача

Точка $P$ внутри равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $8\sqrt{3}$ такова, что $S_{ABP} + S_{ACP} = 3\,S_{BCP}$. Найдите наименьшую возможную длину $AP$.

Догадка

Условие с площадями задаёт какую-то одну точку $P$. Найдём её — и посчитаем $AP$.

Проверим догадку внимательным чтением условия: там написано «найдите наименьшую длину». Если бы точка была одна, слово «наименьшую» было бы лишним. Условие само предупреждает: подходящих точек много. Осталось понять, как устроено их множество.

Рассуждение

Три треугольника $ABP$, $ACP$ и $BCP$ вместе составляют весь треугольник:

$$S_{ABP} + S_{ACP} + S_{BCP} = S_{ABC}.$$

Выразим левую часть условия из этого равенства: $S_{ABC} - S_{BCP} = 3\,S_{BCP}$, откуда

$$S_{BCP} = \frac{S_{ABC}}{4}.$$

Теперь переведём площадь в расстояние. У треугольника $BCP$ основание $BC$ фиксировано, поэтому площадь определяется только расстоянием от $P$ до прямой $BC$: четверть площади — значит, четверть высоты. Высота равностороннего треугольника со стороной $8\sqrt{3}$:

$$h = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12, \qquad\text{значит}\qquad d(P,\ BC) = \frac{h}{4} = 3.$$

Все подходящие точки $P$ заполняют отрезок, параллельный $BC$, на высоте $3$ (без концов: они лежат на сторонах, а $P$ — внутри треугольника). Единственной точки не оказалось — и именно поэтому у задачи появился ответ.

Доказательство

Кратчайший отрезок от точки до прямой — перпендикуляр. Этот отрезок параллелен $BC$, поэтому перпендикуляр к нему из вершины $A$ идёт вдоль высоты треугольника и упирается в прямую на высоте $3$. Его основание — середина отрезка подходящих точек, она лежит внутри треугольника, так что минимум действительно достигается:

$$AP_{\min} = h - d = 12 - 3 = 9.$$

Ответ: $9$.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Точка $P$ внутри равностороннего треугольника со стороной $4\sqrt{3}$ такова, что $S_{ABP} + S_{ACP} = 2\,S_{BCP}$. Найдите наименьшую длину $AP$.

Показать ответ

Теперь $S_{BCP} = \dfrac{S}{3}$. Высота треугольника $h = 4\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6$, расстояние от $P$ до $BC$ равно $\dfrac{6}{3} = 2$, и $AP_{\min} = 6 - 2 = 4$.