Цепочка равных отрезков: пять звеньев и один угол

Пять равных отрезков и один известный угол — вот и всё условие. Этого хватает, чтобы найти угол $A$ однозначно.

Задача

В треугольнике $ABC$ точка $X$ взята на стороне $AB$, а точки $Y$ и $Z$ — на стороне $AC$ так, что точка $Y$ лежит между $A$ и $Z$, а все звенья ломаной $A$–$X$–$Y$–$B$–$Z$–$C$ равны: $AX = XY = YB = BZ = ZC$. Угол $B$ равен $115^\circ$. Найдите угол $A$.

Догадка

На углы $A$ и $C$ остаётся $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. Раз все отрезки равны, наверное, и градусы делятся поровну: по $32{,}5^\circ$ каждому.

Равенство отрезков и правда наводит на мысль о симметрии. Но посмотрите на чертёж внимательнее: ломаная несимметрична. От вершины $A$ до стороны $AC$ цепочка идёт двумя звеньями — $AX$ и $XY$, — а от $Z$ до вершины $C$ одним звеном $ZC$. Симметрии нет. Равные отрезки обещают не «поровну» — они обещают равнобедренные треугольники. Вот их и поищем.

Рассуждение

Пять равных звеньев дают четыре пары соседних — и каждая пара образует равнобедренный треугольник: $AXY$, $XYB$, $YBZ$ и $BZC$. У равнобедренного треугольника равны углы при основании. Обозначим искомый угол $\angle A = \alpha$ и пройдём по цепочке.

Шаг 1. В треугольнике $AXY$ стороны $AX$ и $XY$ равны, значит равны углы при основании $AY$: $\angle XAY = \angle XYA = \alpha$.

Шаг 2. Угол $YXB$ — внешний для треугольника $AXY$, поэтому он равен сумме двух внутренних: $\alpha + \alpha = 2\alpha$. Но треугольник $XYB$ тоже равнобедренный ($XY = YB$), значит $\angle XBY = \angle YXB = 2\alpha$. Точка $X$ лежит на стороне $AB$, поэтому $\angle XBY$ — это просто угол $\angle ABY$: он равен $2\alpha$.

Шаг 3. Угол $BYC$ — внешний уже для треугольника $ABY$: $\alpha + 2\alpha = 3\alpha$.

Шаг 4. Точка $Z$ лежит на луче $YC$, поэтому $\angle BYZ = \angle BYC = 3\alpha$. Треугольник $YBZ$ равнобедренный ($YB = BZ$), значит и $\angle BZY = 3\alpha$.

Шаг 5. Последний треугольник $BZC$ равнобедренный ($BZ = ZC$): углы при его основании равны, $\angle ZBC = \angle ZCB$. Но $\angle ZCB$ — это весь угол $C$ треугольника; обозначим его $\gamma$. Угол $BZY$ — внешний для треугольника $BZC$, поэтому $3\alpha = \gamma + \gamma = 2\gamma$.

Цепочка замкнулась: $\gamma = \dfrac{3\alpha}{2}$ — все углы выразились через один.

Доказательство

Сумма углов треугольника $ABC$:

$$\alpha + 115^\circ + \gamma = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha + \frac{3\alpha}{2} = 65^\circ \quad\Longrightarrow\quad \frac{5\alpha}{2} = 65^\circ.$$

Отсюда $\alpha = 26^\circ$ и $\gamma = 39^\circ$. Проверяем сумму: $26^\circ + 115^\circ + 39^\circ = 180^\circ$ — сходится. Заодно проверена и догадка: $65^\circ$ разделились между $A$ и $C$ не поровну, а в отношении $26 : 39 = 2 : 3$ — и это отношение продиктовала сама цепочка.

Ответ: $\angle A = 26^\circ$.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Проверьте себя: те же точки, те же пять равных звеньев, но угол $B$ равен $120^\circ$. Найдите угол $A$ — лесенка уже построена, пройдите по ней с новым числом.

Показать ответ

Лесенка даёт ту же связь $\gamma = \dfrac{3\alpha}{2}$, поэтому $\dfrac{5\alpha}{2} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, откуда $\alpha = 24^\circ$ и $\gamma = 36^\circ$. Проверка: $24^\circ + 120^\circ + 36^\circ = 180^\circ$.