Матч лжецов с правдолюбами: счёт восстанавливается из противоречия

Одна команда в этом матче лжёт всегда, другая всегда говорит правду. Этого правила достаточно, чтобы восстановить точный счёт.

Задача

Матч сыграли команда лжецов (они всегда лгут) и команда правдолюбов (всегда говорят правду). После игры спросили двух игроков из разных команд — назовём их $A$ и $B$. $A$ сказал: «Матч закончился вничью. Всего в матче было забито девять мячей». $B$ сказал: «Нет, мы победили с перевесом в два мяча. И забито было десять мячей». Каждое предложение считается отдельным высказыванием: у правдолюба оба истинны, у лжеца оба ложны. Кто выиграл и с каким счётом?

Догадка

Неизвестно, кто из них лжец, — значит, верить нельзя ни одному слову, и информации в задаче нет.

На первый взгляд так и есть. Но у лжи из этой задачи строгое устройство: лжец лжёт всегда, в каждом высказывании. Поэтому даже его слова несут информацию — только с обратным знаком. Достаточно предположить, кто правдив, и проверить, не приводит ли это к противоречию.

Рассуждение

$A$ и $B$ — из разных команд, значит ровно один из них правдив. Версии всего две.

Версия 1: правдив $A$. Тогда матч закончился вничью и забито девять мячей. Но при ничьей мячи делятся поровну: по $4{,}5$ мяча каждой команде. Половина мяча в футболе не забивается — противоречие. Версия отпадает целиком.

Версия 2: правдив $B$. Тогда команда $B$ победила с перевесом в два мяча, а всего забито десять. Пусть команда $A$ забила $x$ мячей, тогда $B$ забила $x + 2$:

$$x + (x + 2) = 10 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 4.$$

Счёт $6:4$ в пользу команды $B$. И раз $B$ правдив, $B$ — из команды правдолюбов.

Доказательство

Осталась обязательная проверка: оба высказывания лжеца $A$ должны быть ложными. «Ничья» — ложь, счёт $6:4$. «Девять мячей» — ложь, мячей десять. Всё согласовано.

Ответ: победили правдолюбы со счётом $6:4$.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Проверьте себя. Снова матч лжецов с правдолюбами; $A$ говорит: «Матч закончился со счётом $2:2$. Всего забили семь мячей». $B$ говорит: «Мы победили с перевесом в три мяча. Всего забили девять». Кто выиграл и с каким счётом?

Показать ответ

Версия «правдив $A$» рушится сразу: при счёте $2:2$ мячей четыре, а не семь — а правдолюб не может ошибиться даже в одном слове. Значит, правдив $B$: перевес три, всего девять, счёт $6:3$ в пользу правдолюбов. Проверка слов $A$: счёт действительно не $2:2$, и забито не семь мячей, а девять — оба высказывания ложны, как и положено лжецу.