Площадь треугольника: когда высота выходит наружу

Сделайте чертёж к этой задаче — и высота окажется за пределами треугольника. Формула площади при этом остаётся верной; разберём, почему.

Задача

В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой, сторона $AB = 6$. Перпендикуляр из вершины $C$ к прямой $AB$ попадает в точку $H$, лежащую за точкой $B$, причём $BH = 2$ и $CH = 4$. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Формула площади известна с седьмого класса:

$$S = \frac{1}{2}\,ah,$$

где $a$ — сторона, а $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Казалось бы, бери $a = 6$, $h = 4$ — и готово. Но на чертеже высота $CH$ стоит рядом с треугольником, а не внутри него. Здесь и начинается задача.

Догадка

Высота вышла за треугольник — значит, это какая-то «неправильная» высота. Наверное, для площади она не годится: надо провести другую, которая поместится внутри.

Так думает почти каждый, кто впервые видит этот чертёж, — и в этом есть своя логика. В знакомых ученику примерах высота обычно стоит внутри треугольника, как мачта. Ребёнок обобщает свой опыт; просто опыт пока неполный.

На занятиях мы такие догадки не отбрасываем, а выносим на доску — и проверяем.

Рассуждение

А высота ли это вообще? Первый законный вопрос: если высота не помещается в треугольник — она перестала быть высотой? Вспомним определение. Высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Не на отрезок — на прямую. Прямая бесконечна, и перпендикуляр из $C$ на неё существует всегда; просто иногда его основание $H$ оказывается вне отрезка $AB$. Так что $CH$ — самая настоящая высота: определение допускает наш «странный» чертёж.

Но можно ли ей пользоваться в формуле? Пока не доказали — неизвестно: в учебнике формулу выводят по картинке, где высота внутри. Наш случай другой, значит, ему нужно своё доказательство. Найдём площадь, вообще не пользуясь спорной формулой, — а потом сравним.

Посмотрите на чертёж ещё раз. Треугольник $ABC$ — это большой прямоугольный треугольник $ACH$, из которого вырезали маленький прямоугольный треугольник $BCH$. А для прямоугольных треугольников сомнений нет: их площадь — половина произведения катетов.

Большой треугольник $ACH$: катет $AH = AB + BH = 6 + 2 = 8$, катет $CH = 4$, поэтому

$$S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16.$$

Маленький треугольник $BCH$: катеты $BH = 2$ и $CH = 4$, поэтому

$$S_{BCH} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4.$$

Остаётся вырезать лишнее:

$$S_{ABC} = S_{ACH} - S_{BCH} = 16 - 4 = 12.$$

А что дала бы «подозрительная» формула? Проверим: $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$. То же самое. Совпадение? В математике на такие совпадения полагаться нельзя — но их можно объяснить.

Доказательство

Проделаем то же вычитание, но с буквами вместо чисел. Пусть $AB = a$, высота $CH = h$, а $BH = d$ — насколько основание высоты вышло за сторону. Тогда

$$\begin{aligned} S_{ABC} &= S_{ACH} - S_{BCH} \\ &= \frac{1}{2}(a + d)\,h - \frac{1}{2}\,d\,h \\ &= \frac{1}{2}\,ah. \end{aligned}$$

Лишний кусок $\frac{1}{2}dh$ — площадь треугольника $BCH$ — один раз прибавили вместе с большим треугольником — и один раз вычли. От $d$ не осталось и следа: неважно, на сколько высота «выехала» наружу. Формула $S = \frac{1}{2}ah$ верна для любого треугольника — просто в тупоугольном случае её доказательство идёт через разность, а не через сумму.

Ответ: $S_{ABC} = 12$.

Догадка «высота снаружи не считается» проверку не прошла — и это нормально. Благодаря ей мы перечитали определение и построили доказательство.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Тот же сюжет, другие числа. В треугольнике $ABC$ угол $B$ тупой, $AB = 5$, перпендикуляр из $C$ к прямой $AB$ попадает в точку $H$ за точкой $B$, причём $BH = 3$ и $CH = 6$. Найдите площадь треугольника $ABC$ двумя способами: вычитанием прямоугольных треугольников и сразу по формуле $S = \frac{1}{2}ah$. Ответы обязаны совпасть.

Показать ответ

Катет $AH = 5 + 3 = 8$, поэтому $S_{ACH} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ и $S_{BCH} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6 = 9$. Разность: $24 - 9 = 15$.

По формуле: $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 = 15$. Совпало — как и должно быть после доказательства.