В условии нет ни одного угла, а средняя линия находится

Прочитайте условие: ни одного угла в нём нет. Реакция «а хватит ли данных?» уместна — с неё и начнём.

Задача

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ биссектриса угла $A$ перпендикулярна боковой стороне $CD$. Найдите среднюю линию трапеции, если $AD = 4$, $AB = 3$.

Догадка

В условии не задан ни один угол. Трапецию можно «покачать» — данных не хватает, задача недоопределена.

Опасение не пустое: трапецию с такими данными действительно можно построить по-разному — угол $A$ остаётся свободным. Мы построили несколько таких трапеций — с углом $A$ в $50^\circ$, $70^\circ$ и $90^\circ$: средняя линия всякий раз получалась одной и той же. Примеры ничего не доказывают, но подсказывают: ответ от угла не зависит — и дальше мы покажем, почему. Такое в геометрии случается: фигура меняется, а нужная величина — нет.

Рассуждение

Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P$ — стандартный ход: трапеция достраивается до большого треугольника $PAD$, от которого маленький треугольник $PBC$ отсечён верхним основанием.

Теперь посмотрим на большой треугольник $PAD$. Биссектриса угла $A$ по условию перпендикулярна прямой $CD$ — то есть стороне $PD$ этого треугольника. Получается, что биссектриса из вершины $A$ одновременно является высотой. А это возможно только в равнобедренном треугольнике: значит,

$$AP = AD = 4.$$

Отсюда $BP = AP - AB = 4 - 3 = 1$. Основания трапеции параллельны, поэтому треугольник $PBC$ подобен треугольнику $PAD$ с коэффициентом

$$k = \frac{BP}{AP} = \frac{1}{4}, \qquad\text{значит}\qquad BC = k \cdot AD = \frac{4}{4} = 1.$$

Доказательство

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{4 + 1}{2} = 2{,}5.$$

Заметьте, что произошло с догадкой: угол $A$ действительно никто не задавал — но он и не понадобился. Равенство $AP = AD$ в этой конструкции не зависит от величины угла $A$, поэтому $BC = AD - AB$ всегда, и средняя линия зависит только от данных условия.

Ответ: $2{,}5$.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Решите сами: в трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ биссектриса угла $A$ перпендикулярна стороне $CD$, причём $AD = 6$, $AB = 4$. Найдите среднюю линию.

Показать ответ

Треугольник $PAD$ равнобедренный: $AP = AD = 6$, поэтому $BP = 6 - 4 = 2$ и $BC = 6 \cdot \dfrac{2}{6} = 2$. Средняя линия: $\dfrac{6 + 2}{2} = 4$.