Шесть перестановок, одна сумма: задача, которую решает симметрия

Сложить шесть трёхзначных чисел можно столбиком. А можно заметить, сколько раз каждая цифра попадает в каждый разряд, — и уложить всю сумму в одну строчку.

Задача

Петя задумал трёхзначное число, все цифры которого различны и отличны от нуля. Сумма всех шести чисел, которые получаются перестановками его цифр (включая само число), равна $4440$. Какое наименьшее число мог задумать Петя?

Догадка

Обозначу цифры $a$, $b$, $c$, выпишу все шесть перестановок столбиком и сложу: получится уравнение — длинное, но верное.

Догадка приведёт к ответу — но давайте посмотрим, что именно получится при сложении, до того как выписывать шесть слагаемых. Есть наблюдение, которое избавляет от долгой выкладки.

Рассуждение

Перестановок трёх различных цифр ровно шесть. Посмотрим на разряд сотен: каждая из цифр $a$, $b$, $c$ стоит в нём ровно дважды — по числу перестановок двух оставшихся цифр. То же самое верно для десятков и для единиц.

Значит, в сумме разряд сотен даёт $2(a+b+c) \cdot 100$, десятки — $2(a+b+c) \cdot 10$, единицы — $2(a+b+c)$. Вся сумма:

$$2(a+b+c) \cdot 111 = 222\,(a+b+c).$$

Осталось одно уравнение:

$$222\,(a+b+c) = 4440 \qquad\Longrightarrow\qquad a+b+c = 20.$$

Доказательство

Ищем наименьшее трёхзначное число с различными ненулевыми цифрами и суммой $20$. Наименьшая цифра сотен: единица не подходит — двум оставшимся цифрам пришлось бы дать в сумме $19$, а больше $9 + 8 = 17$ не бывает. Двойка не подходит — нужно $18$, а $\{9, 9\}$ запрещено: цифры различны. Тройка подходит: $20 - 3 = 17 = 8 + 9$. Из двух вариантов, $389$ и $398$, меньший — $389$.

Для любопытных: подходящих чисел ровно $24$, все с суммой цифр $20$.

Ответ: $389$.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Теперь сами: то же условие, но сумма всех шести чисел равна $3330$. Какое наименьшее число мог задумать Петя?

Показать ответ

$222\,(a+b+c) = 3330$, значит $a+b+c = 15$. Единица в сотнях уже возможна: $15 - 1 = 14 = 5 + 9 = 6 + 8$. Наименьшее число — $159$.