Точка пересечения двух прямых: увидеть по клеточкам — и доказать

Семиклассник строит две прямые, показывает на чертёж и называет точку пересечения. Ответ верный — но его недостаточно: нужно объяснить, почему точка именно эта. Разберёмся, как это сделать, — построить две прямые и назвать точку, где они пересекаются. Точка и правда видна — на неё можно показать пальцем. Весь разбор — о разнице между «показать пальцем» и «доказать».

Задача

Постройте на одной координатной плоскости графики функций $y = 2x + 1$ и $y = -x + 4$ и найдите точку пересечения этих прямых.

Сами прямые строятся по точкам. Для $y = 2x + 1$: при $x = 0$ выходит $y = 1$, при $x = 2$ — уже $y = 5$; через точки $(0; 1)$ и $(2; 5)$ проводим прямую. Для $y = -x + 4$ так же годятся $(0; 4)$ и $(4; 0)$. Прямые пересеклись, и на чертеже отлично видно, где. Тут и появляется соблазн.

Догадка

Так вот же ответ: прямые пересекаются в точке (1; 3). По клеточкам видно. Зачем ещё что-то считать?

Эта догадка, забегая вперёд, верная. Ребёнок доверяет своему построению, и это хорошо: чертёж для того и делают, чтобы увидеть. Но у чертежа есть предел точности: у карандашной линии есть толщина, а клетка мала. Почему $(1; 3)$, а не $(0{,}9;\ 3{,}1)$? Рисунок такие мелочи не различает. Пока догадку не проверили, у нас не ответ, а впечатление.

Такую догадку не нужно отвергать с порога — её нужно проверить. Инструмент для проверки лежит в самом определении графика.

Рассуждение

Что значит «точка лежит на прямой»? График — не линия, нарисованная для красоты. Это множество всех точек, координаты которых удовлетворяют равенству. Три представления говорят об одном и том же: формула — правило, таблица — несколько подходящих пар, график — все подходящие пары сразу, слитые в линию. Поэтому у вопроса «лежит ли точка $(1; 3)$ на прямой $y = 2x + 1$?» есть точный смысл: подставь координаты и проверь равенство.

$$3 = 2 \cdot 1 + 1.$$

Верно. Теперь вторая прямая:

$$3 = -1 + 4.$$

Тоже верно. Оба равенства верны — значит, точка $(1; 3)$ лежит на обеих прямых сразу. Это уже не «видно по клеточкам»: это факт, который выдержит любую проверку.

Но остался вопрос. Нам повезло: пересечение попало в узел сетки, и было что подставлять. А сдвиньте вторую прямую чуть-чуть — возьмите $y = -x + 3$ — и пересечение с $y = 2x + 1$ окажется в точке $x = \frac{2}{3}$, $y = \frac{7}{3}$. По клеточкам это «где-то между», и глаз здесь бессилен. Нужен способ, который находит точку сам, а не проверяет угаданное.

Доказательство

Точка пересечения лежит на обеих прямых, значит её координаты подходят обеим формулам: один и тот же $x$ и один и тот же $y$. Значит, $y$ можно посчитать по обеим формулам — и результаты обязаны совпасть:

$$2x + 1 = -x + 4.$$

Дальше обычное уравнение: $3x = 3$, то есть $x = 1$, а тогда $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Проверка по второй формуле даёт то же: $-1 + 4 = 3$.

И ещё одно, чего чертёж не даёт вовсе: уравнение $2x + 1 = -x + 4$ — линейное, у него ровно один корень. Значит, других общих точек у прямых нет. По смыслу это тоже понятно: угловые коэффициенты разные ($2$ и $-1$), прямые не параллельны и не совпадают, а две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке.

Ответ: прямые пересекаются в единственной точке $(1; 3)$.

Догадка «видно по клеточкам» проверку выдержала. Но теперь ясно, что умеет чертёж, а что — только вычисление: рисунок подсказывает, где искать, а формула доказывает, что нашли именно то. График перестаёт быть картинкой, когда за каждой его точкой стоит равенство.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Та же задача, другие числа. Постройте графики $y = 2x - 1$ и $y = -x + 5$ и найдите точку их пересечения: сначала по чертежу, потом докажите ответ двумя проверками — подстановкой в обе формулы и уравнением.

Показать ответ

Приравниваем правые части: $2x - 1 = -x + 5$, откуда $3x = 6$ и $x = 2$, а $y = 2 \cdot 2 - 1 = 3$. Проверка по второй формуле: $-2 + 5 = 3$ — сходится.

Точка $(2; 3)$, и она единственная: угловые коэффициенты $2$ и $-1$ различны.