105 лунок: где картофель встретится с морковью

Картофель ложится в каждую вторую лунку, морковь — в каждую третью. Эта задача приводит к одному из самых полезных понятий пятого класса — наименьшему общему кратному.

Задача

Винни-Пух и Пятачок сделали $105$ лунок. В каждую вторую лунку Винни-Пух бросил картофель, в каждую третью Пятачок посадил морковь. Первый клубень попал во вторую лунку, первое семечко — в третью. Сколько лунок получили и картофель, и морковь?

Догадка

Картофель — в каждой второй лунке, морковь — в каждой третьей. Значит, вместе они встречаются в каждой пятой: $2 + 3 = 5$.

Проверить догадку легко — просто выпишем начало ряда. Картофель: лунки $2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots$ Морковь: $3, 6, 9, 12, \dots$ Первая общая лунка — шестая, а вовсе не пятая. И следующая общая — двенадцатая. Шаги не складываются: общий шаг — их наименьшее общее кратное. Разберёмся, как оно работает.

Рассуждение

Лунка получила картофель, если её номер делится на $2$, и морковь — если номер делится на $3$. Обе культуры окажутся в лунке, если её номер делится и на $2$, и на $3$.

Числа $2$ и $3$ взаимно простые, поэтому «делится на оба» — то же самое, что «делится на $6$»: это их наименьшее общее кратное. Вот почему общие лунки идут с шагом шесть: $6, 12, 18, \dots$

Осталось посчитать кратные шести от $1$ до $105$:

$$6, \ 12, \ 18, \ \dots, \ 102 \qquad\Longrightarrow\qquad \left\lfloor \frac{105}{6} \right\rfloor = 17.$$

Доказательство

Последнее кратное шести, не превосходящее $105$, — это $102 = 6 \cdot 17$, а значит кратных ровно семнадцать: это числа от $1$ до $17$, умноженные на шесть.

Ответ: $17$ лунок.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

На грядке $200$ лунок. Тюльпаны сажают в каждую четвёртую лунку, нарциссы — в каждую шестую (первые тюльпаны попадут в четвёртую лунку, первые нарциссы — в шестую). Сколько лунок получат оба цветка? Осторожно: здесь шаги $4$ и $6$ уже не взаимно простые.

Показать ответ

«Делится на 4 и на 6» — значит «делится на $\text{НОК}(4, 6) = 12$», а не на $24$: у четвёрки и шестёрки есть общий делитель. Кратных двенадцати от $1$ до $200$ ровно $\left\lfloor 200/12 \right\rfloor = 16$.