Кто любит апельсины: одна цепочка вместо тридцати двух вариантов

Пять детей, два фрукта, четыре условия. Можно перебрать тридцать два варианта — а можно увидеть цепочку. Этот приём пригодится и старшеклассникам на олимпиадах.

Задача

В семье пятеро детей: Алиса, Боря, Вася, Гена и Дима. Каждый любит либо апельсины, либо яблоки. Двое любят апельсины, трое — яблоки. Алиса и Боря любят разные фрукты, Боря и Вася — разные, Вася и Гена — разные, Дима и Гена — разные. Кто что любит?

Догадка

Вариантов немного: у каждого из пятерых два фрукта. Переберу все случаи подряд — какой-нибудь подойдёт.

Такой путь есть, и он даже приведёт к ответу: всех случаев $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Но перебирать тридцать два варианта долго, а сбиться легко. Посмотрим, нельзя ли распутать задачу быстрее — и заодно понять её устройство.

Рассуждение

Выпишем, кто с кем «не совпадает»: Алиса — Боря, Боря — Вася, Вася — Гена, Гена — Дима. Последняя пара в условии названа в обратном порядке — «Дима и Гена», — но цепочку она продолжает так же. Получилась цепочка: в каждой паре соседей дети любят разные фрукты.

$$\text{Алиса} - \text{Боря} - \text{Вася} - \text{Гена} - \text{Дима}.$$

Раз соседи всегда различаются, фрукты вдоль цепочки чередуются — как клетки шахматной доски. Вариантов всего два: цепочка начинается с апельсинов или с яблок.

	Алиса	Боря	Вася	Гена	Дима
вариант 1	апельсины	яблоки	апельсины	яблоки	апельсины
вариант 2	яблоки	апельсины	яблоки	апельсины	яблоки

Осталось применить условие о количестве. В первом варианте апельсины любят трое — не подходит. Во втором — двое (Боря и Гена), а яблоки — трое. Подходит, и он единственный.

Доказательство

Каждое условие проверяется по таблице: все четыре пары соседей действительно любят разное, апельсинов два, яблок три. Единственность при этом доказана: чередование оставило два варианта, подсчёт фруктов исключил один из них.

Ответ: апельсины любят Боря и Гена; яблоки — Алиса, Вася и Дима.

Что и требовалось — понять

Попробуйте сами

Проверьте себя: пятеро детей те же, четыре условия «любят разное» те же, но теперь апельсины любят трое, а яблоки — двое. Кто что любит?

Показать ответ

Чередование то же, а счёт выбирает теперь первый вариант: апельсины — Алиса, Вася и Дима, яблоки — Боря и Гена. Решение снова единственное.