Почему нельзя просто посчитать кубики на рисунке?

На изометрическом рисунке видны только передние и верхние кубики. Часть кубиков полностью скрыта за ними, и по картинке их количество не определить — нужно восстановить устройство башни и считать по этажам.

Как считать кубики в башне по этажам?

Каждый этаж — это плоский план: сколько клеток занято, столько кубиков на этаже. Сумма по всем этажам даёт полное число кубиков. Для башни-креста этажи дают 13 + 9 + 5 + 1 = 28, для башни-ромба 25 + 13 + 5 + 1 = 44.

Башни из кубиков: как сосчитать то, чего не видно

Эту задачу давали на вступительной работе в Лицей № 1535 (II этап). Условие умещается в одну строку, картинка нарисована аккуратно — и всё же именно картинка подводит: часть кубиков на ней не видна вовсе.

Задача

Башни А и Б собраны из одинаковых кубиков. Сосчитайте кубики в каждой башне.

Башня А — крест с центральным столбиком высотой в четыре кубика. Башня Б — та же башня, достроенная до «ромба». Часть кубиков на рисунке не видна — они стоят за передними.

Догадка

Посчитаю кубики, которые видно на рисунке: верхушки и передние грани. Что видно — то и есть.

С плоскими фигурами этот способ работает всю начальную школу. Но здесь фигура объёмная. Мысленно поверните башню Б: за каждым передним кубиком могут стоять ещё один или два, и на рисунке не видно ни одной их грани. Сколько их там — картинка не говорит. Значит, считать нужно не по картинке, а по устройству башни.

Рассуждение

Башня — как дом: у неё есть этажи. Первый этаж — все кубики, стоящие на столе. Второй — все кубики, стоящие на кубиках первого этажа. И так до вершины. Каждый этаж — плоский план, а плоское мы считать умеем.

Планы этажей снизу вверх. Синие клетки — башня А (крест). Розовые — кубики, которые достраивают её до башни Б (ромба). На плане видно всё — прятаться больше негде.

У башни А нижние этажи — кресты: четыре луча и центр; на вершине остаётся один кубик. На первом этаже лучи длиной по три клетки: $4 \cdot 3 + 1 = 13$ . Этажом выше лучи на клетку короче: $4 \cdot 2 + 1 = 9$ . Дальше $4 \cdot 1 + 1 = 5$ , и на вершине один кубик.

У башни Б каждый этаж — ромб. Первый этаж: $25$ клеток, дальше $13$ , $5$ и $1$ . Заметьте: каждый этаж ромба — это такой же крест, к которому по углам добавлены четыре треугольные «лесенки».

Доказательство

Считаем сумму по этажам — уже без картинки.

\begin{aligned} \text{Башня А:}\quad & 13 + 9 + 5 + 1 = 28. \\ \text{Башня Б:}\quad & 25 + 13 + 5 + 1 = 44. \end{aligned}

Проверим себя вторым способом — по столбикам. В башне А центральный столбик высотой $4$ , а каждый из четырёх лучей даёт столбики высотой $3, 2, 1$ : всего $4 + 4 \cdot (3 + 2 + 1) = 4 + 24 = 28$ . Сошлось. Для башни Б добавка к кресту — четыре угловые «лесенки»: в каждой по $1 + 2 + 1 = 4$ кубика, итого $4 \cdot 4 = 16$ розовых кубиков — они целиком видны на планах этажей.

Ответ: в башне А — $28$ кубиков, в башне Б — $44$ .

Подсчёт по видимым граням полного ответа не даёт: в башне Б часть кубиков скрыта за передними. Зато благодаря ей появился способ, который видит всё.

Что и требовалось — понять

Покрутите башни сами

Для этой задачи мы сделали трёхмерное пособие: башни можно вращать в любую сторону и разбирать по этажам — те самые планы из рассуждения собираются в объём на ваших глазах. Скрытые кубики перестают быть тайной: поверните башню — и пересчитайте.

Перетаскивайте, чтобы вращать; колесо — масштаб. Кнопки переключают башни и этажи, счётчик показывает число кубиков. Открыть пособие на весь экран →

Попробуйте сами

Те же башни, но на этаж выше: теперь башни в пять этажей. Сколько кубиков в кресте и сколько в ромбе? Считайте по этажам — и проверьте себя по столбикам.

Показать ответ

Крест: этажи $17 + 13 + 9 + 5 + 1 = 45$ . Ромб: этажи $41 + 25 + 13 + 5 + 1 = 85$ . План этажа ромба на «радиусе» $m$ содержит $2m^2 + 2m + 1$ клеток — эти числа называются центрированными квадратными: $1, 5, 13, 25, 41, \dots$