Функция как мультиварка: вход, программа, результат

К восьмому классу слово «функция» уже знакомо, а запись $f(x)$ по-прежнему пугает многих. Причина обычно одна: непонятно, что это за предмет такой — функция. Число? Буква? Действие? Разберёмся на устройстве, которое стоит на кухне.

Устройство

Мультиварка получает продукты, выполняет выбранную программу и выдаёт готовое блюдо. Соотнесём:

• ингредиенты — это аргументы: то, что мы передаём на вход;
• выбранная программа — это функция: правило обработки;
• действия программы — математические операции внутри правила;
• готовое блюдо — значение функции: результат на выходе.

Аргументы — это то, что мы передаём функции. Функция обрабатывает их по фиксированному правилу и возвращает результат — как мультиварка получает ингредиенты, выполняет программу и выдаёт блюдо.

Одни продукты — разные программы

Положим в чашу одно и то же: картофель, морковь, мясо. Программа «Суп» даст один результат, «Тушение» — другой, «Выпечка» — третий. Вход одинаковый, а блюда разные.

Это важнейшее наблюдение: результат определяется не только входом, но и выбранной функцией. В математике то же самое: из числа $2$ функция $f(x) = x^2$ делает $4$, а функция $g(x) = 3x + 1$ — уже $7$. Запись $f(x)$ читается теперь без страха: $f$ — имя программы, $x$ — что положили, $f(2)$ — что получилось на выходе, когда положили $2$.

Главное свойство

Одинаковые ингредиенты, одна программа, одинаковые настройки — один результат. Сегодня и завтра, у вас и у соседа. Если бы «Суп» по вторникам выдавал компот, мультиварку вернули бы в магазин.

С функцией так же: одна функция при одном и том же допустимом аргументе даёт одно определённое значение. Правило, которое из одного и того же входа выдаёт то одно, то другое, функцией не является — на него нельзя опереться ни в вычислении, ни в доказательстве.

Что программа принимает

У каждой программы есть честный список того, с чем она умеет работать: «Йогурт» не рассчитан на мясо, а в чашу не помещается ведро картошки. У функции такой список называется областью определения — это все значения, которые можно подавать на вход.

Например, $y = \dfrac{1}{x}$ принимает любое число, кроме нуля: делить на ноль правило не умеет. А функция из статьи о зарплате принимает только целые неотрицательные $x$, пока $x$ означает количество изготовленных деталей.

Несколько входов и цепочки программ

В чашу кладут не один продукт, а несколько, и ещё выбирают время и температуру. Так и функция может принимать несколько аргументов: $S(a, b) = ab$ — площадь прямоугольника — принимает две стороны.

А результат одной программы может стать входом следующей: сварить овощи, затем измельчить их в пюре. В математике это называется композицией: $g(f(x))$ — сначала $x$ прошёл через программу $f$, потом результат прошёл через $g$. Страшная на вид запись — это всего лишь конвейер из двух устройств.

Две аналогии вместе

Мультиварка объясняет устройство: вход, правило, выход. Зарплата рабочего объясняет конкретную линейную зависимость: что означают $k$ и $b$ и кто выбирает $x$. Соединим их: в модели зарплаты вход — количество деталей $x$, выбранная программа — правило $500x + 3000$, результат — зарплата $y$.

У каждой формулы, которую вы встретите, спрашивайте три вещи: что вводим, какое правило применяем и что получаем. Если на все три вопроса есть ответ — формула перестала быть заклинанием.