Что такое функция: объяснение через зарплату рабочего

Школьники, впервые встретив функции, часто пугаются. Буквы $x$, $y$, $k$, $b$ выглядят как шифр, и даже те, кто научился решать задачи, нередко применяют выученные шаблоны, не понимая, что за ними стоит. Разберём функцию на примере, где каждая буква означает понятную вещь: зарплата рабочего.

Договор

Рабочий устроился в мастерскую на таких условиях: за смену он получает гарантированную сумму — $3000$ рублей, и дополнительно $500$ рублей за каждую изготовленную деталь.

Это правило можно записать одной строкой:

$$y = 500x + 3000.$$

Прочитаем каждую букву:

• $x$ — сколько деталей изготовлено за смену;
• $500$ — оплата за одну деталь, в рублях;
• $3000$ — гарантированная часть зарплаты, в рублях;
• $y$ — итоговая зарплата за смену, в рублях.

В общем виде такую запись принято писать как $y = kx + b$: здесь $k = 500$, а $b = 3000$.

Кто что выбирает

Главный вопрос, с которого начинается понимание: кто выбирает каждую величину?

Количество деталей выбирает рабочий. Он может сделать три детали, может пять — это его вход в правило. Поэтому $x$ называют независимой переменной, или аргументом: её значение задают.

А вот зарплату не выбирает никто. Работодатель не назначает итоговую сумму по настроению — он вычисляет её по заранее согласованному правилу. Поэтому $y$ — зависимая переменная: её значение получается из $x$. Сделал $4$ детали — получи $500 \cdot 4 + 3000 = 5000$ рублей, и никак иначе.

Здесь же видно и главное свойство функции: одному значению аргумента отвечает ровно одно значение функции. Если бы за одинаковую смену с одинаковыми деталями платили то $5000$, то $4200$ — это был бы произвол, а не правило.

Что показывают k и b

Коэффициент $k = 500$ отвечает на вопрос «что даёт ещё одна деталь?»: с каждой следующей деталью зарплата растёт на $500$ рублей. Чем больше $k$, тем быстрее растёт $y$ — и тем круче поднимается график.

Свободный член $b = 3000$ отвечает на вопрос «что будет при $x = 0$?»: рабочий пришёл на смену, деталей не сделал — гарантированные $3000$ он всё равно получит. На графике это точка $(0;\ b)$ — место, где прямая пересекает ось $y$.

Поиграйте с правилом

Правило лучше всего понимается руками. В пособии ниже можно менять условия договора — оплату за смену ($b$) и за деталь ($k$), — изготавливать детали кнопкой и смотреть, как перечерчивается график и наполняется мешок: одна монета — пятьсот рублей. Проверьте на нём три вещи: где прямая пересекает ось $y$; что происходит с наклоном, когда растёт $k$; и почему при $x = 0$ мешок не пустой.

Можно ли продолжить график влево

На графике прямая тянется и в область отрицательных $x$. Но что такое «минус две изготовленные детали»? Ничего: изготовить отрицательное число деталей нельзя. Продолжая график влево, мы обязаны честно переопределить смысл переменной.

Пусть $x$ — результат работы со знаком:

• $x = 3$ — изготовлены три детали;
• $x = 0$ — результата нет;
• $x = -2$ — испорчены две детали, и их стоимость вычитается из зарплаты.

Теперь отрицательные значения имеют смысл: $y = 500 \cdot (-2) + 3000 = 2000$ рублей. Заметьте: в этой модели штраф за испорченную деталь равен оплате за изготовленную. Если в мастерской штрафуют иначе — скажем, испорченная деталь стоит дороже, — одной переменной уже не хватит, и честная модель потребует двух:

$$y = b + kp - qs,$$

где $p$ — изготовленные детали, $s$ — испорченные, а $k$ и $q$ — оплата и штраф за штуку.

Где модель заканчивается

Если $x$ — количество деталей, то его значения — целые и неотрицательные: изготовить $2{,}37$ детали нельзя. Строго говоря, «график зарплаты» — это отдельные точки при $x = 0, 1, 2, \dots$ Непрерывная прямая на чертеже показывает само правило — и она очень удобна, — но не обещает, что каждая её точка означает возможный случай.

Это не мелочь, а привычка, которая отличает понимание от шаблона: у каждой формулы спрашивайте, что мы вводим, по какому правилу считаем и что получаем — и в каких пределах ввод имеет смысл.

Продолжение этого разговора — вторая аналогия, которая объясняет уже не конкретную формулу, а функцию как устройство: «Функция как мультиварка».