Разборы задач

Аннотация (как объясняем):

1. «Разные» идут цепочкой: Алиса — Боря — Вася — Гена — Дима. Это значит, что фрукты чередуются.
2. Проверяем количество: апельсинов должно быть 2, яблок — 3. Если начать с Боря = апельсины, получаем 2 апельсина и 3 яблока — подходит.
3. Записываем ответ словами.

Ответ: апельсины — Боря и Гена; яблоки — Алиса, Вася, Дима.
Комментарий для родителей: здесь важна идея «чередование» и проверка количества.

Аннотация (как объясняем):

1. Нужны лунки, которые делятся и на 2, и на 3 → это кратные $6$.
2. Считаем: 6, 12, 18, …, 102. Всего $\frac{102}{6} = 17$.
3. Записываем ответ.

Ответ: $17$.
Комментарий для родителей: это пример на НОК и «пересечение» шагов.

Аннотация (как объясняем):

1. Проверяем версию «A говорит правду»: тогда ничья и 9 мячей → каждому по 4,5, так не бывает. Значит, A — лжец.
2. Тогда B — правдивый: его команда выиграла в 2 мяча, всего 10 мячей.
3. Пусть A забил $x$, B — $x + 2$. Тогда $2x + 2 = 10 \Rightarrow x = 4$, $B = 6$.

Ответ: правдолюбы выиграли 6:4.
Комментарий для родителей: ключ — проверить «целые значения» и противоречия.

Аннотация (как объясняем):

1. Пусть цифры — $a$, $b$, $c$. Всего 6 перестановок.
2. Каждая цифра дважды стоит в сотнях, дважды в десятках и дважды в единицах → сумма = $(a + b + c) \cdot 222$.
3. $(a + b + c) \cdot 222 = 4440 \Rightarrow a + b + c = 20$.
4. Наименьшее трёхзначное с разными цифрами и суммой 20 — $389$.

Ответ: $389$.
Комментарий для родителей: используем симметрию — это сокращает вычисления.

Аннотация (как объясняем):

1. Площадь каждого маленького прямоугольника — $12$, значит общая площадь делится на 12.
2. Одна сторона равна $14$, значит площадь делится на 14.
3. Минимальный общий кратный 12 и 14 — $84$. Проверяем $14\times6$: при высоте $6$ можно класть только прямоугольники высотой $3$, но $14$ не делится на $4$ → расклад невозможен.
4. Следующий общий кратный — $168$. Это $14\times12$, такую фигуру уже можно собрать из блоков $3\times4$.

Ответ: $168$.
Комментарий для родителей: ключ — проверка кратности и тест «первого возможного» размера.

Аннотация (как объясняем):

1. Равные отрезки образуют цепочку равнобедренных треугольников.
2. Из‑за равенства сторон несколько углов становятся равными, и постепенно выражаются через угол A.
3. В итоге получается связь: $\angle A = \frac{2}{5} \cdot (180^{\circ} - \angle B)$.
4. Подставляем $\angle B = 115^{\circ}$: $\angle A = \frac{2}{5} \cdot 65^{\circ} = 26^{\circ}$.

Ответ: $26^{\circ}$.
Комментарий для родителей: здесь важно видеть равнобедренные треугольники и пользоваться суммой углов.

Аннотация (как объясняем):

1. Продлеваем боковые стороны до пересечения — так удобнее видеть треугольники.
2. Если биссектриса угла A одновременно перпендикулярна CD, то треугольник $\triangle ADX$ равнобедренный, значит $AD = AX$.
3. Из подобия треугольников получаем $BC = AD - AB$.
4. Средняя линия: $\frac{AD + BC}{2} = \frac{AD + AD - AB}{2} = \frac{2\cdot4 - 3}{2} = 2.5$.

Ответ: $2.5$.
Комментарий для родителей: это задача на «достройку» и использование равнобедренных треугольников.

Аннотация (как объясняем):

1. Общая площадь равна сумме трёх маленьких: $S_{ABC} = 4\cdot S_{BCP}$.
2. Значит высота из точки P к стороне BC в 4 раза меньше высоты из A к BC.
3. Высота равностороннего треугольника: $h = \frac{8\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = 12$.
4. Тогда высота точки $P$ — $\frac{h}{4} = 3$. Минимальное $AP$ — это расстояние от $A$ до линии, параллельной $BC$ на высоте $3$: $AP_{\min} = 12 - 3 = 9$.

Ответ: $9$.
Комментарий для родителей: здесь помогает перевод условий в «язык высот» и площадей.